Akademik Veri Yönetim Sistemi
Durna N. (Yürütücü), Türkay M. E., Yıldırım H.
Yükseköğretim Kurumları Destekli Proje, BAP Araştırma Projesi, 2017 - 2017
Konvekslik, M.Ö. 250 yılında Archimedes'in ünlü π değerini hesaplamasına kadar uzanan basit ve bilinen bir kavramdır. Konveks fonksiyonların sistematik araştırmasına ilk olarak 19. yüzyılın sonlarında rastlanmasına rağmen, 20. yüzyılın ortalarında matematiğin önemli bir alanı olarak görülmeye başlanmıştır. Konvekslik, geometri, analiz, lineer cebir ve topolojide kullanılır ve sayı teorisi, klasik ekstremum problemleri, lineer programlama, oyun teorisi ve eşitsizlikler teorisi (lineer, klasik ve matris) gibi çeşitli konularda önemli rol oynar. Kesirli türev ve kesirli integral kavramları ilk olarak Liouville tarafından ortaya atıldı. Bu fikrin temel kaynağı; kesirli türev ve kesirli integral kavramı türev ve integrallerin sadece tamsayılar için var mıdır sorusundan yola çıkılarak ortaya çıkmıştır. Daha sonra Leibniz,
Euler, Lagrange, Abel, Liouville ve diğer birçok matematikçinin, kesirli mertebe için diferansiyel ve integrasyonun genelleştirilmesine dayanan çalışmalarıyla gelişmektedir. Keyfi mertebeli diferansiyel ve integrasyon kavramları, tamsayı mertebeli türev ve n-katlı integralleri birleştiren ve genelleştiren kavramlardır.
Kesirli diferansiyel teorisi çeşitli madde ve işlemlerin kalıtsal özelliklerinin tanımlanmasında kullanılabilecek çok iyi bir araçtır. Bu ise tamsayı mertebeli türevlerle karşılaştırıldığı zaman, kesirli türevler için önemli bir avantajdır. Kesirli türevlerin bu avantajı nesnelerin mekanik ve elektriksel özelliklerinin matematiksel modellemelerinde, akışkanlar teorisi, elektrik devreleri, elektro-analitik kimya gibi diğer birçok alanda kullanılmaktadır.
Şimdi de kesirli hesaplamaların uygulamalı alanlardaki etkisinden bahsedelim. Kesirli hesaplamalar; bildiğimiz hesaplamalardan üç yüzyıl önce var olmasına rağmen bilim ve mühendislik toplulukları arasında çok popüler değildir. Bu konunun en çekici yanı, kesirli türev ve kesirli integralin yerel (yani nokta) özelliği olmamasıdır. Buradan hareketle, kesirli türev ve kesirli integral kavramının yerel olmaması etkisi bizi düşündürmüştür. Diğer bir deyişle, bu konu doğanın gerçekliğini daha iyi açıklayacaktır. Bunun yanı sıra, bilim ve mühendislik topluluklarında olduğu gibi popüler olabilmesi için temel doğayı daha iyi bir yolla anlamak ve tanımlamak için daha farklı boyutlar eklenir. Belki de kesirli hesaplamaların kullanışlı olmasının sebebi; doğayı anlamada ve konuşmada daha etkili olmasıdır.
Geçtiğimiz üç yüzyılda matematikçiler tarafından araştırılmıştır. Son birkaç yıldır mühendislik, bilim ve ekonominin bazı uygulama alanlarına taşınmıştır. Buna rağmen son çalışmalarda özellikle Fractal Bilim Teorisinin yerel operatörlerdeki kesirli türev tanımı üzerinedir. Önümüzdeki on yıl içinde bu konu üzerine uygulamalar görülecektir. Bu çalışma okuyucuya doğa kanunlarını açıklamada yardımcı olacaktır. Eşitsizlik kavramı gelişen disiplini ve artan uygulamalarıyla son yüzyılda matematiksel analizin merkezi alanlarından biri olarak yerini almıştır. Analitik eşitsizlikler yaygın olarak matematik ve birçok uygulamalı matematiğin çeşitli dallarında gelişiminin arkasındaki temel itici güçlerinden biri olarak kabul edilmektedir. Eşitsizlikler ile ilgili çalışmalar son on yıldan fazladır matematiğin birçok farklı alanlardaki uygulamalara büyük bir katkı sağlandığı açıkça ortadadır. Örneğin, Cebysev, Grüss, Yamuk, Ostrowski, Hadamard ve Jensen eşitsizlikler ile ilgili birçok uygulama literatür de çok önemli bir yere sahiptir.
Projemizin temel taşlarını oluşturan Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler ile ilgili çalışmaların büyük bir kısmı da (Dragomir ve Pearce 2002) tarafından yazılmış olan "Selected Topic on Hermite-Hadamard Inequalities and Applications" isimli kitapta bir araya getirilmiştir. Yukarıdaki bilgilerin ışığı altında; bu proje de, son yüzyılda analizin temel çalışmalarından biri olan kesirli integral ve kesirli türev dikkate alınarak, Midpoint formülü yardımıyla s-konveks fonksiyonlar için yeni Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler inşa edilerek ispatları yapılmıştır. Bu çalışma “2nd International Science Symposium, ISS2017” isimli konferansta “SOME HERMITE-HADAMARD TYPE INEQUALITIES VIA MIDPOINT FORMULA FOR s-CONVEX FUNCTIONS” başlıklı özet bildiri olarak sunulmuş, hakem heyetinden geçerek bildiri kitabında basılmıştır. Bulduğumuz sonuçlar klasik Hermite-Hadamard tipli eşitsizliklerin bir genişlemesi ve genelleştirilmesidir.